KALKULUS

 SISTEM BILANGAN REAL - Part II

Bilangan Real

Bilangan Real adalah sistem bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk desimal. ... Bilangan desimal adalah bilangan dengan basis 10, yang terdiri dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Matematikawan mendefinisikan representasi bilangan real sebagai simbol ℝ.

Bilangan real dibagi menjadi dua yaitu bilangan rasional dan bilangan tak rasional.

Bilangan rasional merupakan suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b, dengan a dan b merupakan bilangan bulat serta b tidak sama dengan 0. Bilangan rasional disimbolkan dengan Q.

Dalam bilangan rasional juga diklasifikasi dalam dua kelompok yaitu bilangan bulat dan bilangan tak bulat (pecahan). Bilangan bulat merupakan bilangan dengan nilai tempat terkecilnya adalah nila tempat satuan. Bilangan bulat disimbolkan dengan simbol Z. Bilangan bulat juga dapat diklasifikasikan dalam beberapa kelompok misalnya bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, bilangan ganjil dan bilangan genap, bilangan prima dan bilangan komposit, dan sebagainya.

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat diubah menjadi pecahan biasa (a/b) dan apabila bilangan ini diubah ke pecahan desimal, maka angkanya akan berhenti di suatu bilangan tertentu. Apabila tidak berhenti, maka akan membentuk pola pengulangan.

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat diubah ke pecahan biasa dan apabila bilangan ini diubah ke pecahan desimal, maka angkanya tidak akan berhenti dan tidak memiliki pola tertentu.

Sifat-sifat bilangan real 

• Tertutup yang bentuknya dapat berupa a+b = bilangan real (penjumlahan) dan a x b= bilangan real (perkalian).
• Asosiatif yang bentuknya dapat berupa a+(b+c)= (a+b)+c penjumlahan dan a x (b x c) = (a x b) x c (perkalian).
• Unsur identitas yang bentuknya dapat berupa a + 0 = a (penjumlahan) dan a x 1= a (perkalian)
• Invers yang bentuknya dapat berupa a+ (-a)= 0 (penjumlahan) dan a x 1= (perkalian).
• Distributif yang bentuknya dapat berupa a x (b+c) + (a x c) (perkalian).

1. Sifat Pertidaksamaan Linear

Untuk pertama kali, kamu harus paham dulu definisi dari sifat ini. Kalau dalam ilmu matematika, fenomena seperti ini sering mengandung berbagai jenis kemungkinan yang pada umumnya ditunjukkan dengan beberapa tanda matematika seperti <, >, ≤, dan ≥. Pangkat tertinggi pada bentuk ini biasanya maksimal 1. Coba deh liat sifat umum di bawah ini untuk lebih jelasnya.

Ax ± B > 0; Ax ± B < 0

Ax ± B ≥ 0; Ax ± B ≤ 0

Dengan nilai A, B adalah himpunan bilangan real (a, b є R) dan a ≠ 0.  Selain bentuk di atas, banyak sifat lainnya antara lain :

• Sifat Tidak Negatif

Sifat Tidak Negatif membuat nilai A pada sifat umum di atas memiliki nilai minimal sama dengan nol. Kamu bisa cek sifat di bawah ini untuk lebih memahaminya.

Ax ± B > 0 → 5x + 1 > 0 (nilai A = 5)

Ax ± B < 0 → 3x + 1 < 0 (nilai A = 3)

Ax ± B ≥ 0 → 2x + 1 ≥ 0 (nilai A = 2)

Ax ± B ≤ 0 → 3x + 1 ≤ 0 (nilai A = 3)

Dengan nilai A є R sehingga A ≥ 0.

• Sifat Penjumlahan

Sifat penjumlahan menjelaskan tentang penambahan pada salah satu ruas bentuk umum, maka sisi ruas lain juga harus ditambahkan dengan bilangan yang sama agar tidak mengubah penyelesaiannya yang bentuk tersebut.

A ± B > C ± B;

A ± B < C ± B

A ± B ≥ C ± B

A ± B ≤ C ± B

• Sifat Perkalian

Sifat perkalian memiliki konsep yang sama dengan sifat penjumlahan. Jika salah satu ruas dikalikan dengan bilangan tertentu, maka ruas yang lain harus dikalikan dengan bilangan yang sama.

A x B > C x B;

A x B < C x B

A x B ≥ C x B

A x B ≤ C x B

• Sifat Kebalikan

Sifat kebalikan juga memiliki konsep yang sama dengan sifat konsep perkalian. Perbedaannya terletak pada pembagian bilangan yang dilakukan.

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pertidaksamaan kuadrat sama dengan pertidaksamaan linear yakni bentuk "penghubung" antara ruas kanan dan ruas kiri adalah tanda pertidaksamaan. Bedanya adalah bentuk fungsi yang dioperasikan berupa fungsi kuadrat dengan pangkat tertinggi yang dimiliki adalah pangkat 2.

Ax2+Bx+C > 0

Ax2+Bx+C < 0

Ax2+Bx+C ≥ 0

Ax2+Bx+C ≤ 0

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya.

|F(x)| < a dan a > 0, maka -a < F(x) < a

|F(x)| > a dan a > 0, maka F(x) < -a atau F(x) > a

a < |F(x)| < b maka a < F(x) < b atau -b < F(x) < -a

|F(x)| > |G(x)| maka (F(x)+G(x))(F(x)-G(x)) > 0