KALKULUS BAPAK ARI ALDINO APLIKASI TURUNAN PART II

 Aplikasi Turunan Part II - Kalkulus

APLIKASI TURUNAN

I. Maksimum dan Minimum

Beberapa dari penerapan paling penting kalkulus diferensial adalah persoalan pengoptimalan yaitu nilai maksimum dan nilai minimum.

Definisi

Misalkan S, daerah asal ƒ, memuat titik c. Maka dapat dikatakan bahwa :

i.ƒ(c) adalah nilai maksimum ƒ pada S jika ƒ(c) ≥ ƒ(x) untuk semua x di S;

ii.ƒ(c) adalah nilai minimum ƒ pada S jika ƒ(c) ≤ ƒ(x) untuk semua x di S;

iii.ƒ(c) adalah nilai ekstrim ƒ pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Teorema A

(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika ƒ kontinu pada selang tertutup [a, b], maka ƒ mencapai maksimum dan nilai minimum.

Ingat : “ƒ harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tertutup.”

Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung.

Nilai-nilai ekstrim juga sering kali terjadi pada titik-titik stasioner dimana jika c sebuah titik pada ƒ'(c) = 0

Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pula pada titik-titik singular, yakni jika c adalah titik dalam dari I dimana ƒ’ tidak ada.

Ketiga jenis titik ini (titik ujung, titik stasioner dan titik singular merupakan titik-titik kunci dari teori maksimum-minimum. Sebarang titik dalam daerah asal fungsi ƒ yang termasuk salah satu dari tiga tipe ini disebut sebuah titik kritis ƒ.

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). misalkan ƒ didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika ƒ(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :

Titik ujung dari I

Titik stasioner dari ƒ(ƒ'(c) = 0)

Titik singular dari ƒ(ƒ'(c) tidak ada).

kita dapat menyatakan suatu prosedur yang sangat sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu ƒ pada selang tertutup I.

Langkah 1 Carilah titik-titik kritis dari ƒ pada I.

Langkah 2 Hitunglah ƒ pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum, yang terkecil adalah nili minimum.

Contoh Soal :

1. Tentukanlah nilai maksimum dan nilai minimum untuk fungsi ƒ(x) = x2 – 4x + 4 dalam interval 0 ≤ x ≤ 3.

Jawab :

ƒ(x) = x2 – 4x + 4 ƒ'(x) = 2x – 4

nilai stasioner ƒ'(x) = 0

2x – 4 = 0

2x – 4 + 4 = 0 + 4

2x = 4

x = 2 titik-titk kritis yang didapat adalah 0,2,3

untuk x=0, maka ƒ(x) = 4 ( maksimum )

untuk x=2, maka ƒ(x) = 0

untuk x=3, maka ƒ(x) = -1 ( minimum )

jadi, fungsi ƒ(x) = x2 – 4x + 4 dalam interval 0 ≤ x ≤ 3 mencapai nilai maksimum 4 pada x=0 dan nilai minimum -1 pada x= 3.

Maka apabila digambarkan pada frafik akan dinyatakan dengan kurva yang berasal dari kiri atas menuju ke kanan bawah.

II. Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi

Misalkan ƒ terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakana bahwa :

i.ƒ adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1 < x2 → ƒ(x1) < ƒ(x2)

ii.ƒ adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1 < x2 → ƒ(x1) > ƒ(x2)

iii.ƒ monoton murni pada I jika ia pada I atau turun pada I.

Teorema A

(Teorema Kemonotonan). Andaikan ƒ kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I.

i.Jika ƒ'(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka ƒ naik pada I.

ii.Jika ƒ'(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka ƒ turun pada I.

Teorema B

(Teorema Kecekungan). Andaikan ƒ terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b).

i.Jika ƒ”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka ƒ cekung keatas pada (a,b).

ii.Jika ƒ”(x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka ƒ cekung ke bawah pada (a,b).

Contoh Soal :

1. Dalam fungsi ƒ(x) = x3 + 9×2 + 15x + 4 tentukan dalam interval mana fungsi ƒ(x) naik dan dalam interval mana fungsi ƒ(x) turun ?

Jawab :

ƒ(x) = x3 + 9×2 + 15x + 4

ƒ'(x) = 3×2 + 18x+ 15

ƒ'(x) = x2 + 6x + 5

Agar fungsi ƒ(x) naik maka syaratnya ƒ'(x) > 0

x2 + 6x + 5 > 0

( x + 5 ) ( x + 1 ) > 0

X1 = -5 atau X2 = -1 -5 -1

Maka fungsi ƒ(x) naik didapat pada interval x < -5 atau x > -1

Agar fungsi ƒ(x) turun maka syaratnya adalah ƒ'(x) < 0

x2 + 6x + 5 < 0

( x + 5 ) ( x + 1 ) < 0

X1 = -5 atau X2 = -1 -5 -1

Maka fungsi ƒ(x) turun didapat pada interval -5 < x < -1

III. Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi

Andaikan S, daerah asal ƒ, memuat titik c. kita katakan bahwa :

i.ƒ(c) nilai maksimum lokal ƒ jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga ƒ(c) adalah nilai maksimum ƒ pada (a,b) ∩ S;

ii.ƒ(c) nilai maksimum lokal ƒ jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga ƒ(c) adalah nilai minimum ƒ pada (a,b) ∩ S;

iii.ƒ(c) nilai ekstrim lokal ƒ jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.

Teorema A

(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan ƒ kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

i.Jika ƒ'(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan ƒ'(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b) maka ƒ'(c) adalah nilai maksimum lokal ƒ.

ii.Jika ƒ'(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan ƒ'(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b) maka ƒ'(c) adalah nilai minimum lokal ƒ.

iii.Jika ƒ'(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka ƒ(c) bukan nilai ekstrim lokal ƒ.

Teorema B

(Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan ƒ’ dan ƒ” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan ƒ'(c) = 0.

i.Jika ƒ”(c) < 0, ƒ(c) adalah nilai maksimum lokal ƒ.

ii.Jika ƒ”(c) > 0, ƒ(c) adalah nilai minimum lokal ƒ.

Contoh Soal :

1. Carilah nilai ekstrim lokal dari ƒ(x) = x3 – 3×2 + 1 pada ( -∞, ∞ ).

Jawab :

ƒ(x) = x3 – 3×2 + 1

ƒ'(x) = 3×2 – 6x + + + + – – – – – – – – – + + + + +

ƒ'(x) = x2 – 2x 0 2

= x ( x – 2 ) (∞,0) (0,2) (2,∞)

x1 = 2 atau x2 = 0

Titik kritis f adalah 0 dan 2. Bilamana menggunakan titik-titik uji -1,1,3, kita pahami bahwa x ( x – 2 )> 0 pada (-∞,0) dan (2, ∞) dan x ( x – 2 )< 0 pada (0,2). Bahwa ƒ(0) = 1 , adalah nilai maksimum lokal, dan

ƒ(2) = -3, adalah nilai minimum lokal

IV. Lebih Banyak Masalah Maksimum – Minimum

Langkah –langkah dalam menyelesaikan permasalahan pengoptimalan sebagai berikut :

1 Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel – variabel yang sesuai untuk besaran – besaran kunci.

2 Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variabel – variabel tersebut.

3 Gunakan kondisi-kondisi masalah untu menghilangkan semua kecuale satu dari variabel-variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variabel, misalnya x.

4 Tentukan nilai himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang.

5 Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titk stsioner titik singular) paling sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dQ/dx = 0.

6 Gunakan teori ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberikan maksimum (minimum).

Contoh Soal

1.Sebuah besi beton dengan panjang 10m dirancang berbentuk nmenyerupai huruf U dengan cara membengkokkan bagian ujung-ujungnya, jika L menyatakan luas penampang dari bentuk rancangan itu , tentukan luas penampang yang maksimum!

Jawab :

Misalkan bagian ujung yang dibengkokkan masing-masing mempunyai panjang x, maka panjang bagian yang lurus adalah (10 – 2 x) . luas penampang bentuk rancangan L sebagai fungsi x ditentukan sebagai berikut.

L (x) = ( 10 – 2x ) (x)= 10x – 2×2

Turunan pertama dan kedua dari L(x) terhadap x bertutut-turut adalah

L’ (x) = 10-4x dan L”(x) = -4

Syarat perlu ekstrim diperoleh dari L’ (x) = 0

10 – 4x = 0 ↔ x = 2,5

karena L “(x) = -4 , maka berdasarkan uji turunan kedua akan terjadi nilai balik maksimum pada x = 2,5 dan nilai balik maksimum itu adalah

L ( 2,5) =n 10(2,5) – 2 (2,5)2 = 12,5

Jadi luas penampung yang maksimum adalah L = 12,5 m2 dicapai jika ujung-ujung kawat dibengkokkan sepanjang x 2,5 m.