KALKULUS BAPAK ARI ALDINO APLIKASI TURUNAN PART III

 Aplikasi Turunan Part III - Kalkulus

Penggunaan Konsep Turunan dalam Menggambar Kurva Polinom

Langkah 1 : Carilah titik-titik penting berupa titik potong terhadap sumbu X, titik potong terhadap sumbu Y, titik ekstrim, dan jenis dari titik ekstrim.

1. Titik potong grafik dengan sumbu-sumbu koordinat.

• Titik potong dengan sumbu X didapat jika y = 0.
• Titik potong dengan sumbu Y didapat jika x = 0.

2. Carilah turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi f, yaitu f'(x) dan f”(x). Dari turunan pertama.

• interval fungsi naik dan fungsi turun,
• titik ekstrim fungsi f.

Dari turunan kedua bisa didapatkan:

• interval fungsi cekung ke atas dan fungsi cekung ke bawah,
• titik belok fungsi.

Langkah 2 :  Gambarlah titik-titik yang diperoleh dari langkah 1 pada koordinat kartesius.

Langkah 3 : Hubungkan titik-titik yang sudah digambar di koordinat kartesius dengan kurva halus dengan memperhatikan kapan kurva naik dan turun, kapan cekung ke atas, dan kapan kurva cekung ke bawah.

Contoh Soal :

Gambarlah sketsa kurva y = f(x) = 4x3 – 8x2 – 3x + 9.

Jawab :

Untuk menyelesaikannya, mari kita pakai langkah-langkah yang sudah dibahas di atas :

Langkah 1

Titik potong dengan sumbu Y, di perloeh apabila x = 0.

y = f(0) = 4(0)3– 8(0)2 – 3(0) + 9 = 9. Maka Titik potongnya adalah (0,9)

Titik potong dengan sumbu X, diperoleh bila y = 0.

Berarti, 4x3 – 8x2  – 3x + 9 = 0. Untuk mendapatkan nilai x, pakailah teorema faktor yang sudah dipelajari pada pokok bahasan polinom atau suku banyak. Maka akan didapat x = -1 atau x = 1,5. Maka demikian titik potong dengan sumbu X ialah (-1,0) dan (1,5;0)

Cari turunan pertama dan kedua.

f1(x) = 12x2 – 16x – 3

f11(x) = 24x – 16

Fungsi naik, fungsi turun, dan titik ekstrim.

Fungsi f naik bila f'(x) > 0

12×2 – 16x – 3 > 0

(2x-3) (6x+1) > 0

x < -1/6 atau x > 1,5

Fungsi f turun bila f'(x) < 0

12×2 – 16x – 3 < 0

(2x-3)(6x+1) < 0

-1/6 < x < 1,5

Titik ekstrim didapatkan apabila f'(x) = 0

12×2 – 16x – 3 = 0

(2x-3)(6x+1) = 0

x = -1/6 atau x = 1,5

x = -1/6 pada bentuk desimal dapat ditulis sebagai x = -0,17

Jenis stasioner bisa diperoleh dengan substitusi x ketika f'(x) = 0 ke f”(x).

f”(-1/6) = 24(-1/6) – 16 = -20 < 0

menurut uji turunan kedua, x = -1/6 memiliki nilai balik maksimum. Nilai balik maksimumnya didapatkan dengan substitusi nilai x ke fungsi awal .

f(-1/6) = 9 7/27 = 9,26

f”(1,5) = 24(1,5) – 16 = 20 > 0

menurut uji turunan kedua, x = 1,5 memiliki nilai balik minimum. Nilai balik minimumnya didapatkan dengan substitusi nilai x ke fungsi awal.

f(1,5) = 0

Kecekungan fungsi dan titik belok fungsi.

Fungsi f cekung ke atas bila f”(x) > 0

24x – 16 > 0

24x > 16

x > 2/3

Fungsi f cekung ke bawah bila f”(x) < 0

24x – 16 < 0

24x < 16

x < 2/3

Titik belok fungsi f didapatkan bila f”(x) = 0

24x – 16 = 0

24x = 16

x = 2/3

f(2/3)=4 17/27

Titik beloknya adalah (2/3,4 17/27)

Langkah 2 :

Gambarlah titik-titik yang didapatkan pada langkah 1 pada koordinat kartesius. Titik-titik tersebut yaitu sebagai berikut. :

(0,9), (-1,0), (1,5;0), (-1/6,9 7/27), dan (2/3,4 17/27)

Langkah 3 :

Hubungkan titik-titik yang sudah diletakan pada koordinat kartesius pada kurva halus dengan memperhatikan naik-turun dan kecekungannya, sehingga didapatkan grafik seperti dibawah ini :